Πως εξηγείται η πιθανότητα 50% να έχουν τα ίδια γενέθλια τουλάχιστον 2 άτομα σε 23; Εξετάζοντας το διάσημο πρόβλημα των γενεθλίων!
Έχετε ποτέ αναρωτηθεί πόσο πιθανό είναι να βρείτε δύο άτομα με τα ίδια γενέθλια σε μια παρέα 23 ατόμων; Αν πιστεύετε πως αυτό είναι πολύ δύσκολο, θα σας εκπλήξει το γεγονός ότι η πιθανότητα να συμβεί είναι πάνω από 50%! Ναι, διαβάσατε σωστά. Η πιθανότητα να έχουν τουλάχιστον δύο άτομα τα ίδια γενέθλια σε μια ομάδα 23 ατόμων είναι 50% και αυτό το φαινόμενο είναι γνωστό ως το “πρόβλημα των γενεθλίων”. Ας το εξετάσουμε λίγο πιο αναλυτικά για να καταλάβετε πώς και γιατί συμβαίνει.
Το παράδοξο των γενεθλίων: Μια φαινομενικά παράξενη πιθανότητα!
Το πρώτο πράγμα που πρέπει να καταλάβετε για το πρόβλημα των γενεθλίων είναι ότι πρόκειται για μια μάλλον “παράξενη” πιθανότητα. Όταν σκεφτόμαστε τα γενέθλια, συχνά θεωρούμε ότι η πιθανότητα δύο άτομα να έχουν τα ίδια γενέθλια είναι μικρή. Ειδικά αν σκεφτούμε ότι υπάρχουν 365 ημέρες το χρόνο. Ωστόσο, η πραγματικότητα είναι ότι οι πιθανότητες να βρείτε δύο άτομα με τα ίδια γενέθλια σε μια ομάδα 23 ατόμων είναι πολύ υψηλότερες από όσο περιμένατε.
Ας το εξηγήσουμε λίγο καλύτερα. Σκεφτείτε το εξής: όταν μπαίνει το πρώτο άτομο σε μια ομάδα, η πιθανότητα να μην έχει τα ίδια γενέθλια με κάποιον άλλο είναι 100%. Όταν όμως έρχεται το δεύτερο άτομο, η πιθανότητα να μην έχουν τα ίδια γενέθλια μειώνεται ελαφρώς, και όσο προστίθενται και άλλοι άνθρωποι στην ομάδα, η πιθανότητα να βρείτε δύο άτομα με τα ίδια γενέθλια αυξάνεται σημαντικά. Στην πραγματικότητα, μόλις φτάσουμε στους 23 ανθρώπους, η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι με τα ίδια γενέθλια ξεπερνά το 50%.
Μα, πώς είναι δυνατόν;
Πολλοί άνθρωποι βρίσκουν δύσκολο να το πιστέψουν αυτό, γιατί όταν σκέφτεται κανείς τις 365 ημέρες του χρόνου, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι οι πιθανότητες είναι πολύ μικρές. Ωστόσο, αυτό που κάνει τη διαφορά είναι ότι δεν χρειάζεται να συγκρίνετε το γενέθλιο ενός συγκεκριμένου ατόμου με όλων των υπολοίπων. Αντιθέτως, υπολογίζετε τη πιθανότητα οποιοδήποτε δύο άτομα να έχουν τα ίδια γενέθλια, και αυτό κάνει τα πράγματα πιο πιθανό.
Ο αριθμός “23”: Γιατί 23 άτομα;
Όταν ακούτε για αυτό το “παράδοξο”, συχνά αναρωτιέστε γιατί ο αριθμός είναι 23. Μήπως είναι τυχαίος; Κι όμως, δεν είναι. Ο λόγος είναι μαθηματικός. Αν σκεφτείτε την ομάδα των 23 ατόμων, το σύνολο των πιθανών ζευγαριών που μπορεί να προκύψουν είναι πολύ μεγαλύτερο απ’ όσο πιστεύετε. Συγκεκριμένα, αν έχουμε 23 άτομα, υπάρχουν 253 διαφορετικοί τρόποι για να επιλέξουμε δύο άτομα από αυτούς. Κάθε φορά που κάνουμε αυτή την επιλογή, οι πιθανότητες να έχουν τα ίδια γενέθλια αυξάνονται. Και όταν εξετάσουμε όλα τα πιθανά ζευγάρια, καταλήγουμε σε πιθανότητα πάνω από 50%.
Πόσο θα αυξηθεί η πιθανότητα με περισσότερα άτομα;
Αν η ομάδα είχε 30 άτομα αντί για 23, η πιθανότητα να έχουν τουλάχιστον δύο άτομα τα ίδια γενέθλια θα ήταν ακόμα πιο ψηλή. Στην πραγματικότητα, με 30 άτομα η πιθανότητα αγγίζει το 70%, και με 50 άτομα το ποσοστό αυτό εκτοξεύεται σε πάνω από 97%! Ο λόγος πίσω από αυτή την αύξηση είναι ότι με κάθε νέο άτομο στην ομάδα, αυξάνονται οι πιθανοί συνδυασμοί ζευγαριών, και άρα η πιθανότητα να συμβεί κάτι τέτοιο αυξάνεται κατακόρυφα.
Τι μας διδάσκει το πρόβλημα των γενεθλίων;
Το πρόβλημα των γενεθλίων μας διδάσκει πόσο εύκολα μπορούμε να κάνουμε λάθος στην εκτίμηση πιθανοτήτων, ειδικά όταν δεν κατανοούμε πλήρως την αριθμητική πίσω από τα νούμερα. Η πιθανότητα για το γεγονός ότι δύο άτομα σε μια ομάδα 23 να έχουν τα ίδια γενέθλια δεν είναι τόσο μικρή όσο φαίνεται αρχικά. Είναι μια τέλεια υπενθύμιση ότι η διαίσθησή μας για το πώς δουλεύει ο κόσμος δεν είναι πάντα ακριβής, και τα μαθηματικά μπορεί να αποκαλύπτουν εκπληκτικά αποτελέσματα.
Η αξία της κατανόησης των πιθανοτήτων στη ζωή μας
Αυτή η ιδέα της “παράδοξης” πιθανότητας μπορεί να μας φαίνεται διασκεδαστική ή ακόμα και άχρηστη στην αρχή, αλλά έχει πραγματική αξία όταν αρχίσουμε να τη σκεφτόμαστε σε πιο καθημερινές καταστάσεις. Οι πιθανότητες είναι παντού γύρω μας, από το πότε θα κερδίσει κάποιος σε ένα παιχνίδι τύχης μέχρι το πόσο συχνά μπορεί να συναντήσουμε κάποιον με κοινά χαρακτηριστικά ή συμφέροντα. Αν καταλάβουμε πώς λειτουργούν οι πιθανότητες και πώς συχνά μας ξεγελούν οι εντυπώσεις μας, μπορούμε να πάρουμε πιο ενημερωμένες αποφάσεις στη ζωή μας.
Αυτό το παράδοξο είναι μόνο μία από τις πολλές περιπτώσεις όπου η μαθηματική λογική ξεπερνά τη διαίσθηση μας, αλλά είναι σίγουρα μία από τις πιο συναρπαστικές.
