Η προπαίδεια είναι από τα πρώτα μεγάλα εμπόδια που συναντούν πολλά παιδιά στα μαθηματικά. Κάποια δυσκολεύονται να θυμηθούν τους πολλαπλασιασμούς, άλλα μπερδεύουν τα αποτελέσματα και αρκετά προσπαθούν να μάθουν ολόκληρους πίνακες απέξω, χωρίς να καταλαβαίνουν πάντα τι ακριβώς υπολογίζουν.
Υπάρχει όμως ένας απλός τρόπος να γίνει η προπαίδεια πιο κατανοητή. Ο Πυθαγόρειος πίνακας πολλαπλασιασμού επιτρέπει στα παιδιά να βλέπουν τις σχέσεις ανάμεσα στους αριθμούς, να αναγνωρίζουν μοτίβα και να ανακαλύπτουν μόνα τους πώς λειτουργεί ο πολλαπλασιασμός. Δεν αποτελεί μαγική λύση, αλλά μπορεί να μετατρέψει μια κουραστική διαδικασία απομνημόνευσης σε μια ενδιαφέρουσα μαθησιακή δραστηριότητα.
Τι είναι ο Πυθαγόρειος πίνακας και πώς λειτουργεί;
Οι περισσότεροι γονείς γνωρίζουν την προπαίδεια μέσα από τις συνηθισμένες σειρές πολλαπλασιασμών. Το παιδί διαβάζει ότι 2×1=2, 2×2=4, 2×3=6 και συνεχίζει μέχρι να μάθει τις απαντήσεις. Αυτός ο τρόπος δεν είναι λανθασμένος, αλλά όταν βασίζεται αποκλειστικά στην επανάληψη, ορισμένα παιδιά δυσκολεύονται να κατανοήσουν τη σχέση ανάμεσα στις πράξεις.
Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε μια συνηθισμένη παρουσίαση της προπαίδειας, όπου οι πολλαπλασιασμοί εμφανίζονται σε ξεχωριστές σειρές.
Ο Πυθαγόρειος πίνακας παρουσιάζει τις ίδιες μαθηματικές πράξεις με διαφορετική διάταξη. Οι αριθμοί βρίσκονται στην πρώτη γραμμή και στην πρώτη στήλη, ενώ σε κάθε τετραγωνάκι εμφανίζεται το γινόμενό τους. Για να βρούμε πόσο κάνει 4×6, ακολουθούμε τη γραμμή του 4 και τη στήλη του 6 μέχρι να συναντηθούν στο 24.
Με αυτόν τον τρόπο το παιδί δεν βλέπει μόνο μια σειρά από αποτελέσματα. Βλέπει έναν πίνακα γεμάτο αριθμητικές σχέσεις που μπορεί να εξερευνήσει και να κατανοήσει σταδιακά.
Γιατί μπορεί να βοηθήσει τα παιδιά να μάθουν πιο εύκολα την προπαίδεια;
Το μεγαλύτερο πλεονέκτημα του Πυθαγόρειου πίνακα είναι ότι κάνει ορατά ορισμένα βασικά χαρακτηριστικά του πολλαπλασιασμού. Αντί το παιδί να προσπαθεί να θυμάται δεκάδες ασύνδετες απαντήσεις, μπορεί να παρατηρεί πώς προκύπτουν τα αποτελέσματα και να αξιοποιεί όσα ήδη γνωρίζει.
Για παράδειγμα, στον πίνακα γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι 3×5 και 5×3 δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Πρόκειται για την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, η οποία μας λέει ότι όταν αλλάζουμε τη σειρά των δύο αριθμών, το γινόμενο παραμένει ίδιο. Επομένως, ένα παιδί που γνωρίζει ότι 3×5=15 δεν χρειάζεται να μάθει το 5×3 σαν μια εντελώς διαφορετική πράξη.
Ένα ακόμη ενδιαφέρον χαρακτηριστικό είναι η διαγώνιος του πίνακα. Εκεί εμφανίζονται τα αποτελέσματα των πολλαπλασιασμών ενός αριθμού με τον εαυτό του, όπως 2×2=4, 3×3=9, 4×4=16 και 5×5=25. Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται τετράγωνοι αριθμοί και αποτελούν ένα μοτίβο που μπορούν να αναγνωρίσουν ακόμη και μικρότερα παιδιά με την κατάλληλη καθοδήγηση.
Παρατηρώντας τις γραμμές και τις στήλες, το παιδί μπορεί επίσης να ανακαλύψει ότι κάθε σειρά αυξάνεται με σταθερό βήμα. Στη σειρά του 4, για παράδειγμα, συναντά τους αριθμούς 4, 8, 12, 16, 20 και συνεχίζει προσθέτοντας κάθε φορά 4. Έτσι αρχίζει να καταλαβαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός συνδέεται με την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση.
Πώς να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα με το παιδί σας;
Δεν χρειάζονται ιδιαίτερα υλικά ή πολύπλοκες ασκήσεις. Μπορείτε να εκτυπώσετε έναν Πυθαγόρειο πίνακα και να τον τοποθετήσετε στο γραφείο του παιδιού. Αντί να ζητήσετε να μάθει όλες τις πράξεις από την αρχή, αφήστε το να παρατηρήσει τους αριθμούς και βοηθήστε το να ανακαλύψει μερικές από τις σχέσεις τους.
Ξεκινήστε από τους εύκολους πολλαπλασιασμούς. Στη σειρά του 2 οι αριθμοί αυξάνονται ανά δύο, ενώ στη σειρά του 5 τα αποτελέσματα τελειώνουν σε 0 ή 5. Στη σειρά του 10 κάθε αποτέλεσμα είναι δεκαπλάσιο του αριθμού με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε. Αυτά τα μοτίβα δίνουν στο παιδί σημεία αναφοράς που μπορεί να χρησιμοποιήσει και σε πιο δύσκολες πράξεις.
Δείξτε πώς μια γνωστή πράξη βοηθά σε μια άγνωστη. Αν το παιδί ξέρει ότι 5×6=30, μπορεί να υπολογίσει το 6×6 προσθέτοντας ακόμη ένα 6, ώστε να φτάσει στο 36. Αν γνωρίζει ότι 4×7=28, μπορεί να βρει το 5×7 προσθέτοντας 7 και να καταλήξει στο 35.
Αυτές οι μικρές ανακαλύψεις βοηθούν το παιδί να αντιληφθεί ότι τα μαθηματικά δεν είναι μόνο απαντήσεις που πρέπει να θυμάται. Είναι σχέσεις που μπορεί να χρησιμοποιήσει για να βρει μια λύση, ακόμη κι όταν δεν γνωρίζει αμέσως το αποτέλεσμα.
Μετατρέψτε την εξάσκηση σε παιχνίδι. Καλύψτε με ένα χαρτάκι μερικά αποτελέσματα και ζητήστε από το παιδί να τα συμπληρώσει. Μπορείτε επίσης να του δίνετε ένα γινόμενο, όπως το 24, και να το αφήνετε να βρει δύο αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, δίνουν αυτό το αποτέλεσμα.
Μια ακόμη ιδέα είναι να χρωματίσετε τα τετραγωνάκια που περιέχουν το ίδιο αποτέλεσμα. Έτσι το παιδί μπορεί να εντοπίσει ότι το 24 εμφανίζεται σε διαφορετικές θέσεις του πίνακα, όπως στο 3×8, στο 4×6, στο 6×4 και στο 8×3. Με αυτόν τον τρόπο εξασκεί την παρατηρητικότητά του και αρχίζει να αντιλαμβάνεται περισσότερες από μία διαδρομές προς την ίδια απάντηση.
Χρειάζεται τελικά να μάθουν τα παιδιά την προπαίδεια απέξω;
Ο Πυθαγόρειος πίνακας είναι ένα χρήσιμο εκπαιδευτικό εργαλείο, αλλά δεν σημαίνει ότι η εξάσκηση και η απομνημόνευση δεν έχουν θέση στα μαθηματικά. Ο στόχος είναι το παιδί να κατανοεί πρώτα πώς λειτουργεί ο πολλαπλασιασμός και σταδιακά να αποκτά την ευχέρεια να ανακαλεί γρήγορα τα βασικά αποτελέσματα.
Η μαθηματική εκπαίδευση δεν χρειάζεται να επιλέξει ανάμεσα στην κατανόηση και στην ευχέρεια. Τα δύο στοιχεία μπορούν να αναπτυχθούν μαζί, με κατάλληλες δραστηριότητες, επανάληψη και αξιοποίηση αριθμητικών μοτίβων. Όσο πιο καλά καταλαβαίνει ένα παιδί τις σχέσεις ανάμεσα στους αριθμούς, τόσο περισσότερους τρόπους διαθέτει για να ελέγχει και να υπολογίζει ένα αποτέλεσμα.
Χρειάζεται επίσης να θυμόμαστε ότι δεν μαθαίνουν όλα τα παιδιά με τον ίδιο ρυθμό. Κάποια ωφελούνται ιδιαίτερα από τους πίνακες και τις εικόνες, ενώ άλλα χρειάζονται αντικείμενα, πρακτικά παραδείγματα και περισσότερη καθοδήγηση. Αν ένα παιδί δυσκολεύεται, η λύση δεν είναι απαραίτητα να επαναλαμβάνει περισσότερες φορές τις ίδιες ασκήσεις, αλλά να δοκιμάσει έναν διαφορετικό τρόπο κατανόησης με τη βοήθεια του εκπαιδευτικού του.
Ο Πυθαγόρειος πίνακας μπορεί να γίνει μια καλή αρχή. Αντί να ζητάτε από το παιδί να απομνημονεύσει αμέσως όλες τις πράξεις, δώστε του χρόνο να εξερευνήσει τους αριθμούς, να κάνει ερωτήσεις και να ανακαλύψει μικρά μοτίβα. Η εξάσκηση θα εξακολουθήσει να είναι απαραίτητη, αλλά μπορεί να αποκτήσει περισσότερο νόημα.
Γιατί ο σκοπός δεν είναι μόνο να θυμάται ένα παιδί ότι 7×8=56. Είναι να καταλαβαίνει τι σημαίνει αυτή η πράξη και να έχει την αυτοπεποίθηση να βρει την απάντηση ακόμη κι όταν δεν του έρχεται αμέσως στο μυαλό.
Πηγές:
